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Alt 21.11.2018, 11:40   #345
schnodo
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Zitat:
Zitat von BunteSocke Beitrag anzeigen
Wie kann man das sinnvoll begründen??? ohne, dass man versucht das tatsächlich mit einer Formel nachzuweisen???
Das Ding hat mir keine Ruhe gelassen.

In der stark verwandten Aufgabe mit der Nummer 501024 kommen sie nicht ohne Formeln aus, der Ansatz ist aber dennoch interessant (Links zu PDFs):
50. Mathematik-Olympiade / 2. Stufe (Regionalrunde) / Klasse 10 /Aufgaben
50. Mathematik-Olympiade / 2. Stufe (Regionalrunde) / Klasse 10 / Lösungen

Ich habe zum Privatvergnügen mal alle Rechtecks-Umfänge, die möglich sind, in einer Tabelle aufgeführt und die Lösungen markiert.

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Geändert von schnodo (21.11.2018 um 11:47 Uhr). Grund: Typo
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Alt 21.11.2018, 14:24   #346
BunteSocke
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Beiträge: 3.120
Zitat:
Zitat von Matthias75 Beitrag anzeigen
Sofern du nur deine Lösung begründen muss und nicht eine allgemeine Gesetzmäßigkeit, ist das doch einfach:

2*1+2*6 = 14 = 2*3+2*4 - erste Bedingung erfllt

3*4 = 12 = 2*(1*6) - zweite Bedingung erfüllt

Begründung abgeschlossen.

M.
Matthias, vielen Dank Dir

... liebster schnodo, Du bist genial

vielen Dank für diese sehr interessanten Infos ... die ich mir hoffentlich heute abend mal in Ruhe anschauen werde ... denn ich gestehe, auch ich habe mit dieser besch*** Aufgabe in den letzten Tagen mehr Zeit als nötig verbracht ... man erinnere sich, 3./4. Klasse
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Alt 21.11.2018, 17:18   #347
MatthiasR
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Zitat:
Zitat von Matthias75 Beitrag anzeigen
2*a+2*b = 2*c+2*d (gleicher Umfang)

und

a*b = 2*b*c (Lisas Rechteck hat die doppelte Fläche, also passt Tims Rechteck zweimal in das von Lisa)
Offensichtlich sollen nur ganze Quadrate verwendet werden, d.h. a, b, c und d sollen ganzzahlig sein. Außerdem sollen a und c <= 20 sowie b und d <= 25 sein (oder umgekehrt).

Mathematisch kann man da folgendermaßen ansetzen:
Aus der ersten Formel folgt
a = c + d - b
Das setzt man in die zweite Formel ein (die natürlich a*b = 2*c*d lauten muss):
b*c + b*d - b² = 2*c*d
Das löst man nach c auf:
c = (b² - b*d)/(b - 2*d)

Nun muss ja c ganzzahlig sein. Das erreicht man am einfachsten (aber nicht ausschließlich) dadurch, dass der Nenner (b - 2*d) gleich 1 ist, was wiederum am offensichtlichsten dann der Fall ist, wenn b=3 und d=1 ist. Dann folgt c = 6 und a = 4 - diese Lösung hatten wir ja schon.

Eine weitere einfache Lösung ist b=5 und d=2 mit c=15 und a=12. Die nächste Variante mit Nenner gleich 1 geht schon nicht mehr: b=7 und d=3 führt zu c=28 und a=24, was zu groß ist.

c wird auch ganzzahlig, wenn der Nenner 2 und der Zähler gerade ist. Das gilt z.B. für b=4 und d=1, das ergibt mit c=6 und a=3 aber wieder die erste Lösung (mit vertauschten Zahlen). Eine weitere Lösung ergibt sich hingegen mit b=6 und d=2, dann ist c=12 und a=8. Für b=8 und d=3 werden a und c schon wieder zu groß.

Mit etwas Rumspielen findet man auch noch a=12, b=9, c=18, d=3 und a=16, b=12, c=24, d=4. Das war's dann aber imho.

Insgesamt sind das also fünf Lösungen (Seitenvertauschungen nicht mitgerechnet), wobei allerdings vier (alle bis auf die zweitgenannte) ähnlich sind - die drei letztgenannten sind lediglich Vervielfachungen der ersten Lösung (so hätte man die auch finden können).

Gruß Matthias
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MatthiasR ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.11.2018, 17:48   #348
schnodo
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Zitat:
Zitat von MatthiasR Beitrag anzeigen
Insgesamt sind das also fünf Lösungen...
Hast Du a=15, b=8, c=20, d=3 übersehen?
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Alt 21.11.2018, 18:11   #349
Matthias75
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Ort: Hofheim a.T.
Beiträge: 5.130
Zitat:
Zitat von MatthiasR Beitrag anzeigen
Offensichtlich sollen nur ganze Quadrate verwendet werden, d.h. a, b, c und d sollen ganzzahlig sein. Außerdem sollen a und c <= 20 sowie b und d <= 25 sein (oder umgekehrt).

Mathematisch kann man da folgendermaßen ansetzen:
Aus der ersten Formel folgt
a = c + d - b
Das setzt man in die zweite Formel ein (die natürlich a*b = 2*c*d lauten muss):
b*c + b*d - b² = 2*c*d
Das löst man nach c auf:
c = (b² - b*d)/(b - 2*d)

Nun muss ja c ganzzahlig sein. Das erreicht man am einfachsten (aber nicht ausschließlich) dadurch, dass der Nenner (b - 2*d) gleich 1 ist, was wiederum am offensichtlichsten dann der Fall ist, wenn b=3 und d=1 ist. Dann folgt c = 6 und a = 4 - diese Lösung hatten wir ja schon.

Eine weitere einfache Lösung ist b=5 und d=2 mit c=15 und a=12. Die nächste Variante mit Nenner gleich 1 geht schon nicht mehr: b=7 und d=3 führt zu c=28 und a=24, was zu groß ist.

c wird auch ganzzahlig, wenn der Nenner 2 und der Zähler gerade ist. Das gilt z.B. für b=4 und d=1, das ergibt mit c=6 und a=3 aber wieder die erste Lösung (mit vertauschten Zahlen). Eine weitere Lösung ergibt sich hingegen mit b=6 und d=2, dann ist c=12 und a=8. Für b=8 und d=3 werden a und c schon wieder zu groß.

Mit etwas Rumspielen findet man auch noch a=12, b=9, c=18, d=3 und a=16, b=12, c=24, d=4. Das war's dann aber imho.

Insgesamt sind das also fünf Lösungen (Seitenvertauschungen nicht mitgerechnet), wobei allerdings vier (alle bis auf die zweitgenannte) ähnlich sind - die drei letztgenannten sind lediglich Vervielfachungen der ersten Lösung (so hätte man die auch finden können).

Gruß Matthias
Starker Tobak für die 3./4. Klasse Da waren wir damals gefühlt noch mit dem Ausmalen der Kästchen beschäftigt

Zitat:
Zitat von schnodo Beitrag anzeigen
Hast Du a=15, b=8, c=20, d=3 übersehen?
15*8 = 120 = 2*20*3

aber

15*2+8*2=48 und 20*2+3*2=46

Vielleicht wird bald in Mathe genauso bewertet wie in der Rechtschreibung, dann geht dass vielleicht als Rundungsfehler durch

M.
Matthias75 ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.11.2018, 18:34   #350
schnodo
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Ort: Karlsruhe
Beiträge: 8.970
Zitat:
Zitat von Matthias75 Beitrag anzeigen
15*2+8*2=48 und 20*2+3*2=46

Vielleicht wird bald in Mathe genauso bewertet wie in der Rechtschreibung, dann geht dass vielleicht als Rundungsfehler durch :Cheese
*hüstel*

15*2 + 8*2 = 30 + 16 = ?
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schnodo ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.11.2018, 18:39   #351
BunteSocke
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Benutzerbild von BunteSocke
 
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Beiträge: 3.120
Zitat:
Zitat von MatthiasR Beitrag anzeigen
Offensichtlich sollen nur ganze Quadrate verwendet werden, d.h. a, b, c und d sollen ganzzahlig sein. Außerdem sollen a und c <= 20 sowie b und d <= 25 sein (oder umgekehrt).

Mathematisch kann man da folgendermaßen ansetzen:
Aus der ersten Formel folgt
a = c + d - b
Das setzt man in die zweite Formel ein (die natürlich a*b = 2*c*d lauten muss):
b*c + b*d - b² = 2*c*d
Das löst man nach c auf:
c = (b² - b*d)/(b - 2*d)

Nun muss ja c ganzzahlig sein. Das erreicht man am einfachsten (aber nicht ausschließlich) dadurch, dass der Nenner (b - 2*d) gleich 1 ist, was wiederum am offensichtlichsten dann der Fall ist, wenn b=3 und d=1 ist. Dann folgt c = 6 und a = 4 - diese Lösung hatten wir ja schon.

Eine weitere einfache Lösung ist b=5 und d=2 mit c=15 und a=12. Die nächste Variante mit Nenner gleich 1 geht schon nicht mehr: b=7 und d=3 führt zu c=28 und a=24, was zu groß ist.

c wird auch ganzzahlig, wenn der Nenner 2 und der Zähler gerade ist. Das gilt z.B. für b=4 und d=1, das ergibt mit c=6 und a=3 aber wieder die erste Lösung (mit vertauschten Zahlen). Eine weitere Lösung ergibt sich hingegen mit b=6 und d=2, dann ist c=12 und a=8. Für b=8 und d=3 werden a und c schon wieder zu groß.

Mit etwas Rumspielen findet man auch noch a=12, b=9, c=18, d=3 und a=16, b=12, c=24, d=4. Das war's dann aber imho.

Insgesamt sind das also fünf Lösungen (Seitenvertauschungen nicht mitgerechnet), wobei allerdings vier (alle bis auf die zweitgenannte) ähnlich sind - die drei letztgenannten sind lediglich Vervielfachungen der ersten Lösung (so hätte man die auch finden können).

Gruß Matthias
Ufff, ja. Dem kann ich schon nur noch mit Mühe folgen

Zitat:
Zitat von Matthias75 Beitrag anzeigen
Starker Tobak für die 3./4. Klasse Da waren wir damals gefühlt noch mit dem Ausmalen der Kästchen beschäftigt


(...)
So ähnliche Gedanken hatte ich auch, hätte es aber nicht treffender formulieren können
__________________
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The revenge of the IRONMOM
BunteSocke ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 21.11.2018, 19:01   #352
Matthias75
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Benutzerbild von Matthias75
 
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Ort: Hofheim a.T.
Beiträge: 5.130
Zitat:
Zitat von schnodo Beitrag anzeigen
*hüstel*

15*2 + 8*2 = 30 + 16 = ?
Upssss, was hatte ich denn da für einen Knoten im Hirn

Ich geh dann mal wieder Kästchen ausmalen

M.
Matthias75 ist offline   Mit Zitat antworten
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